如图1,Rt△ABC与Rt△CDE,∠ABC=∠CDE=90°,BC=k•AB,CD=k•DE,M为AE中点,
探究:线段BM与DM的数量关系;
人气:167 ℃ 时间:2019-08-21 20:54:59
解答
BM=DM. 证明如下:
延长AB至F,使FB=AB、再延长ED至G,使GD=ED.
∵BC=kAB、CD=kDE,∴BC/CD=AB/DE,又∠ABC=∠EDC,∴△ABC∽△EDC,
∴∠ACB=∠ECD,∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE.
∵AF⊥BC、AB=FB,∴AC=FC、∠ACB=∠FCB,∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠FCE,
∴∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠FCE,∴∠ECD=∠ACD+∠FCE.
∵GE⊥DC、GD=ED,∴GC=EC、∠GCD=∠ECD,∴∠ACG+∠ACD=∠ECD,
∴∠ACG+∠ACD=∠ACD+∠FCE,∴∠FCE=∠ACG.
由EC=AC、EC=GC、∠FCE=∠ACG,得:△FCE≌△ACG,∴FE=AG.
∵B、M分别是AF、AE的中点,∴BM=FE/2、∵M、D分别是AE、EG的中点,∴DM=AG/2.
由FE=AG、BM=FE/2、DM=AG/2,得:BM=DM.
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