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数学
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若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程:4x
2
+4(a
2
+b
2
+c
2
)x+3(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)=0有两个相等的实数根,试证△ABC是等边三角形.
人气:485 ℃ 时间:2020-05-14 07:21:18
解答
证明:由题得,△=16(a
2
+b
2
+c
2
)
2
-4×4×3(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)=0,
所以有,a
4
+b
4
+c
4
-a
2
b
2
-a
2
c
2
-b
2
c
2
=0,2(a
4
+b
4
+c
4
-a
2
b
2
-a
2
c
2
-b
2
c
2
)=0,
得到(a
2
-b
2
)
2
+(b
2
-c
2
)
2
+(c
2
-a
2
)
2
=0,
所以a
2
-b
2
=0且b
2
-c
2
=0且c
2
-a
2
=0,即有a=b=c.
所以△ABC是等边三角形.
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