自三角形ABC内一点P,分别向BC,CA,AB边引垂线,垂足依次为D,E,F.以BD,CD,CE,AE,AF,BF为直径分别向形外_数学解答

自三角形ABC内一点P,分别向BC,CA,AB边引垂线,垂足依次为D,E,F.以BD,CD,CE,AE,AF,BF为直径分别向形外作半圆.如图所示,这六个半圆面积分别记为S1,S2,S3,S4,S5,S6.若S5-S6=2,S1-S2=1,那么S4-S3＝?

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解答

S5-S6+S1-S2+S3-S4=pai/2*((AF^2/4-BF^2/4)+(BD^2/4-CD^2/4)+(CE^2/4-AE^2/4))
不考虑前面的系数,即=k*(AF^2-BF^2+BD^2-CD^2+CE^2-AE^2)
=(AF^2+PF^2-BF^2-PF^2+BD^2+DP^2-CD^2-DP^2+CE^2+PE^2-PE^2-AE^2)
（由勾股定理可得）=(AP^2-BP^2+BP^2-CP^2+CP^2-AP^2)=0
所以S4-S3=-（S3-S4）=S5-S6+S1-S2=3