令P+Q=t
则t+R=5
PQ+QR+RP=PQ+R(P+Q)=3
即PQ+(5-t)t=3
那么3+t²-5t=PQ≤[(P+Q)/2]²=t²/4
整理得 3t²-20t+12≤0
(3t-2)(t-6)≤0
解得2/3≤t≤6
因为R=5-t,要求R最大值,则求t最小值,由t最小值为2/3
所以R最大值为5-t=5-2/3=13/3
当且仅当P=Q=1/3时,R取得最大值13/3


答案：13/3