四边形EGFH是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵G是OA的中点，H是OC的中点，
∴OG=

1

2

OA，OH=

1

2

OC，
∴OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．