四边形EGFH是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD‖BC,OA=OC,
∴∠OAE=∠OFC,∠OEA=∠OFC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∵G是OA的中点,H是OC的中点,
∴OG= 1/2OA,OH═ 1/2OC,
∴OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形．