若n阶矩阵A满足A的三次方等于3A(A-I）,证明I-A可逆,并求(I-A)的逆矩阵_数学解答

若n阶矩阵A满足A的三次方等于3A(A-I）,证明I-A可逆,并求(I-A)的逆矩阵

人气：235 ℃　时间：2019-08-20 10:34:54

解答

A^3＝3A^2－3A
－A^3＋3A^2－3A＝0
－A^3＋3A^2－3A＋I＝I
(I－A)^3＝I
所以,(I－A)[(I－A)^2]＝I,即(I－A)(A^2－2A＋I)＝I,所以I－A可逆,且逆矩阵是A^2－2A＋I