①当a＞1时，要使f（x）恒为正，只需真数(

1

a

−2)x+1当x∈[1，2]时恒大于1，
令y=(

1

a

−2)x+1，该函数在[1，2]上是单调函数，因此只需

( 1 a −2)×1+1＞1 ( 1 a −2)×2+1＞1

，无解；
②当0＜a＜1时，要使f（x）恒为正，只需真数y=(

1

a

−2)x+1当x∈[1，2]时，在区间（0，1）内取值，
而y=(

1

a

−2)x+1在[1，2]上是单调函数，所以只需

0＜( 1 a −2)×1+1＜1 0＜( 1 a −2)×2+1＜1

，解得

1

2

＜a＜

2

3

．
综上，a的范围是

1

2

＜a＜

2

3

．