1正确,因为bn=(an+bn)-an,且an+bn与an的极限存在,所以bn的极限存在；
2不正确,若an=0,bn=n,则有an乘bn的极限存在,且an的极限存在,而bn的极限不存在；
3、不正确,若an=0,bn=n,则有an/bn的极限存在,且an的极限存在,而bn的极限不存在；
4、正确,因为bn=(an+bn)-(an-bn),an=(an+bn)+(an-bn),所以类似于1可以说明是正确的.
5、正确,因为由连续函数的定义,得f(X),g(X)在x0处的极限不存在,f(X)+g(X)在x0处的极限也不存在,所以它一定不连续
综上所述,1,4,5正确.