根据分析可得，
（1）11和13的最小公倍数是：11×13=143，143÷15=9…8，286÷15=19…1，把286扩大13倍，除数不变，根据余数定理可得：286×13=3718，3718÷15=247…13，符合要求；
同理，（2）11和15的最小公倍数是：11×15=165；（165×2）÷13=25…5；（165×3）÷13=495÷13=38…1；495×12=5940，5940÷13=456…12，符合要求；
（3）因为这个自然数能被11整除，所以，只要满足条件（1）和（2），这个自然数就会满足题干的所有的已知条件，但是题干是求的满足条件的最小的自然数，所以根据剩余定理可知，必须减去11、15和13的公倍数，直到小于11、15和13的最小公倍数为止；
所以，11、15和13的最小公倍数是：15×13×11=2145，所以，5940+3718-2145×4=1078，1078＜2145，因此，这个数最小为1078．
故答案为：1078．