只需证明 Y的可列个稠密开集就交集仍是稠密的.
设 U1,U2,.,Un ,...是子空间Y的一列稠密开集.
因为Y是X的开子集.所以 Un,n=1,2,...是X中的开子集.设 A=X - （Y的闭包）,则A为开集.
设 Vn=Un 并A,n=1,2,.Vn 显然是X 的开集.
任给n>0,Vn为X 的稠密开集.
证明：任给X 的开集U,
1.如果U交Y=空集.则U属于A ==》 U交Vn非空.
2.如果U交Y非空,因为Vn 在Y中稠密,而U交Y为Y中非空开集,所以 (U交Y)交Vn非空,即U交Vn非空.
所以 Vn为X 的稠密开集.
于是 根据拓扑空间X是Baire空间,Vn对所有 n=1,2,...的交是X中的稠密集.任给Y中开子集U0,
U0 是X的开集,于是 （Vn对所有 n=1,2,...的交）交U0 非空,因 A交U0=空集,所以
（Un对所有 n=1,2,...的交）交U0 非空
所以结论成立.有个地方不理证明Vn为X 的稠密开集时候，当U交Y=空集时，那么有U属于X-Y，但是A是属于X-Y的，未必有A=X-Y，怎么判断U属于A 呢？抱歉，这里是有些跳跃。 反证：如果存在 x属于 U-A。 即 x属于 Y的闭包。U是包含x的开集，既然x属于 Y的闭包，则U交Y非空（否则，x不在Y的闭包中。）。这与 U交Y=空集 矛盾。