See you 比较正式,它其实是See you later 的缩略说法.
Bye-bye 比较口语化.
还有一个更重要的分别,严格来说See you 只能够人对人当面说（也就是看到人的时候）,在电话里不可以说（因为讲话的时候see不到人,也就不能see you later了）,但bye-bye 不论当面或者电话里都可以说.