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数学
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(理)如图,已知正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的各条棱长都相等,M是侧棱CC
1
的中点,则异面直线AB
1
和BM所成的角的大小是( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
人气:200 ℃ 时间:2020-03-25 07:24:57
解答
设三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的棱长等于2,延长MC
1
到N使MN=BB
1
,连接AN,则
∵MN∥BB
1
,MN=BB
1
,∴四边形BB
1
NM是平行四边形,可得B
1
N∥BM
因此,∠AB
1
N(或其补角)就是异面直线AB
1
和BM所成角
∵Rt△B
1
C
1
N中,B
1
C
1
=2,C
1
N=1,∴B
1
N=
5
∵Rt△ACN中,AC=2,CN=3,∴AN=
13
又∵正方形AA
1
B
1
B中,AB
1
=2
2
∴△AB
1
N中,cos∠AB
1
N=
5+8−13
2×
5
×2
2
=0,可得∠AB
1
N=90°
即异面直线AB
1
和BM所成角为90°
故选:A
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