1.求函数y=3x² +2在区间[x.,x.+△x]上的平均变化率,并分别求函数在x.=1,2,3,附近△x取二分之一时的平均变化率k1,k2,k3,并比较其大小.
平均变化率 k₁= [f(1.5) - f(1)]/0.5 = [8.75 - 5]/0.5 = 7.5
平均变化率 k₂= [f(2.5) - f(2)]/0.5 = [20.75 - 14]/0.5 = 13.5
平均变化率 k₃= [f(3.5) - f(3)]/0.5 = [38.75 - 29]/0.5 =19.5
k ₁< k₂< k₃
2.求函数y=x³在x=1处的导数.
y' = 3x²,
When x=1,y' = 3
【说明】
本题的要求是求导数,导数是某点的增长率,不可以用△y/△x.
如果你的老师坚持这么做,说明他的微积分功底还很薄弱.
△y/△x是算的平均增长率,在算平均增长量时,如果用到导数,那就必须给出
x的范围,工程误差,实验数据分析都是这样.看来本题是你的老师误导你了.
只有一个点时,用导数算,算出来的是某点的变化率的准确值,变化率可以是
时间变化率,可以是空间变化率.
用两点算时,算出的是平均值,是大概的数值.
本题只有x=1,应该是老师在微积分上还没有入门.
3.某物体走过的路程S是时间t的函数S=3t,求S’（3）,并解释它的实际意义.
本题的出题老师的物理概念不严谨,不可以是路程,而应该是位置坐标!
只有位置坐标的求导才是速度,是瞬时速度.路程求导是一个糊涂概念.
S' = 3.表示是匀速直线运动.速度的大小是 3.
4.比较函数f(x)=2^x 与g(x)=3^x,当x属于[1,2]时,平均增长率的大小.
For f(x)：△y/△x = [2² - 2¹]/[2-1] = 2
For g(x)：△y/△x = [3² - 3¹]/[2-1] = 6.
So,g(x) 在[1,2]区间上的平均增长率大于f(x).
5.已知f（x）=ax^2+2,若f‘（1）=4,求a的值.
f'(x) = 2ax
f'(1) = 2a
令 2a = 4
a = 2