当a=-1时，
集合M={-1，-b，1}，N={-1，b，b+1}，
∵元素x映射到集合N中仍为x，
∴b=0，
∴a+b=-1；
当a=1时，
集合M={-1，b，1}，N={1，b，b-1}，
∵元素x映射到集合N中仍为x，
∴b=0，
∴a+b=1；
综上得a+b=±1
∵A，B，C全不正确，
故选：D