取直线l上任意一点Q(x1,y1),则Ax1+By1+C=0,即Ax1+By1=-C
于是由柯西不等式,
[(x0-x1)^2+(y0-y1)^2](A^2+B^2)
≥[A(x0-x1)+B(y0-y1)]^2
=[Ax0+By0-(Ax1+By1)]^2
=[Ax0+By0+C]^2
因此PQ=√[(x0-x1)^2+(y0-y1)^2]≥|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
所以P到直线l的距离d即为PQ的最小值|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
等号成立当且仅当
x1=(B^2*x0-AC-ABy0)/(A^2+B^2),
y1=(A^2*y0-BC-ABx0)/(A^2+B^2).
综上可知d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2),命题得证.