定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意实数a,b有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x)的解析式.
人气:297 ℃ 时间:2019-10-24 03:13:06
解答
观察f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)
已知f(0)=1
所以尽量凑出f(0)然后代入f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)
1、 令a=0,
则f(-b)=f(0)-b(-b+1),
所以f(x)=X^2+X+1
因为定义域为R
所以可以将其中的字母任意赋值,等式都成立
2、也可以令a-b=0
所以a=b
代入 则f(0)=f(a-b+b)-b(-b+1)
f(a)=f(0)+b(-b+1)
因为a=b
所以f(b)=1+b(-b+1)
结果还是f(x)=X^2+X+1
3、令b=0
代入则f(a)=f(a)
做不下去了
其实这里的整式都可以用任意实数代入 得到一个等式 只是有些求得出答案 有些求不出
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