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数学
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已知关于x的方程(1-a)x
2
+(a+2)x-4=0,a∈R,求:
(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件
(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件.
人气:317 ℃ 时间:2020-05-10 04:44:15
解答
首先方程有二实根的充要条件是:
1-a≠0
△=
(a+2)
2
+16(1-a)≥0
解之得:a≥10或a≤2且a≠1
设方程的二实根为x
1
,x
2
,则
x
1
+
x
2
=
a+2
a-1
,
x
1
x
2
=
4
a-1
(Ⅰ)x
1
,x
2
均为正根
⇔
a≠1
a≤2或a≥10
x
1
+
x
2
=
a+2
a-1
>0
x
1
x
2
=
4
a-1
>0
解之得:1<a≤2或a≥10
(Ⅱ)①由(Ⅰ)知,当a≥10或1<a≤2时,方程有两个正根
②方程有一正根,一负根
⇔
a≠1
a<2或a>10
x
1
x
2
=
4
a-1
<0
解得:a<1
③当
a=1时,方程化为3x-4=0,有一个正根x=
4
3
综合①②③得,方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10
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