1.
设P(x,y)
则√[(x-2)²+y²]=2|x-1/2|
化简为3x²-y²-3=0,即x²- y²/3 =1 (双曲线)
∴动点P的轨迹方程为x²- y²/3 =1
2.
设直线方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)
联立：
y=x+b
3x²-y²-3=0
得,2x²-2bx-b²-3=0
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=3√2
即(x1-x2)²+(y1-y2)²=18
y1=x1+b,y2=x2+b
∴y1-y2=(x1+b)-(x2+b)=x1-x2
∴2(x1-x2)²=18
即(x1-x2)²=9
(x1+x2)²-4x1x2=9
根据韦达定理得x1+x2=b,x1x2= -(b²+3)/2
∴b²+2(b²+3)=9
b=±1
∴直线方程为y=x±1
即 x-y±1=0