设H、K都是群G的子群,设|H|=m,|K|=n且(m,n)=1,证明:H∩K={e}.如题
人气:252 ℃ 时间:2020-05-25 09:01:25
解答
证明:显见{e}包含于H∩K,H∩K≠Φ.任意的a,b∈H∩K,则a,b∈H且a,b∈K,又H、K为G的子群,故a(b^-1)∈H且a(b^-1)∈K.即 a(b^-1)∈H∩K,故H∩K≤H,H∩K≤K.从而由拉格朗日定理知 |H∩K| 整除m且 |H∩K|整除n 因此|H∩K|整除(m,n),又(m,n)=1,故必有 |H∩K|=1,所以 H∩K={e}
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