已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的导数为f'(x)=3x^2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax^2(a属_数学解答

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的导数为f'(x)=3x^2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax^2(a属于R）求当a小于2时F(x)的极小值,求诺对任意的x都有x大于等于0时F（x)大于等于0成立求a的取值范围

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解答

1.
因为：f(1)=1+b+c+d+7
所以：b+c+d=6
又因为：f'(x)=3x^2+4x
所以：b=2
c=0
d=4
即f(x)=x^3+2x^2+4
F'(x)=f'(x)-2ax=3x^2+4x-2ax=3x^2+2(2-a)x
令F'(x)=0
得x=0或x=2(a-2)/3
F''(x)=6x+4-2a
F''(0)=4-2a
因为a0
F''(2(a-2)/3)=2a-4
因为a0时,F'(x)=3x^2+2(2-a)x
当F'(x)=0时,x=0或x=2(a-2)/3
当a>2时,如果F'(x)>0
得x>2(a-2)/3或x2(a-2)/3时,F(x)min=F(2(a-2)/3)=4(2-a)^3/27 +4
如F(2(a-2)/3)=4(2-a)^3/27+4>=0
得a