（1）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

＝0，查得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．显然直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，将y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△＝4p2k2−16(k−1)p＞0 x1+x2＝2pk＝4

，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C(t，

t2

4

)（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|＝|NB |NA|＝|NC

，∴

a2+b2 ＝ (a−4)2+(b−4)2 a2+b2 ＝ (a−t)2+(b− t2 4 )2

即

a+b＝4 4a+tb＝2t+ 1 8 t3

解得

a＝− t2+4t 8 b＝ t2+4t+32 8

．
∵抛物线L在点C处切线的斜率为k＝y′|x＝t＝

t

2

，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴

b− t2 4

a−t

•

t

2

＝−1．
即2a+bt−2t−

1

4

t3＝0．
将a＝−

t2+4t

8

，b＝

t2+4t+32

8

代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）．