F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)
F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2
由积分中值定理,存在ξ∈(a,x),使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)
则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2
=(f(x)-f(ξ))/(x-a)
由x在(a,b)内,x>a,由ξ∈(a,x),则ξ由于f '(x)<0,则f(x)是减函数,则f(x)因此F'(x)=(f(x)-f(ξ))/(x-a),分子为负,分母为正,所以F'(x)<0.