计算二重积分.∫∫(x^2+y^2)dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
我看了有别人提问过这个,但是回答是要分段积分.
如果我一次积分dx,二次积分dy,那是不是可以不用分段呢?
但是我这样做出来后和标准答案不一样.
人气:471 ℃ 时间:2020-05-24 18:41:57
解答
∫∫(x^2+y^2)dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y](x^2+y^2)dx (其中[ ] 表示上下限)=∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy=(y^4/12-(y-a)^4/12+a*y^3/3)[a,3a]=3^4*a^4/12-2^4*a^4/12+3^3*a^4/3-a^4/12+0-a^4/3=(81/12-16...∫[y-a,y](x^2+y^2)dx 这一步我算出来是a^3/3+ay^2,怎么你不见了那个a^3/3??∫[y-a,y](x^2+y^2)dx =(x^3/3+y^2*x)[y-a,y]=y^3/3-(y-a)^3/3+y^2*y-y^2*(y-a)=y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2所以∫∫(x^2+y^2)dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y](x^2+y^2)dx =∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy
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