楼主说是高中数学问题,但是我相信能用小学知识解决.
我们用如下方法取数:
2,5,8,11.2006,2009,即每相邻的数相差3,一共是2010/3=670个数.
其中任何2个数的差,都是3的倍数,即差都是3X的形式,所以不可能等于8,也不可能等于14,满足要求.
在1~2010整个数列的两头,把个别满足要求的数加上,包括1,4,7和2004,2007,2010,共6个数(注意,这几个数的差也都是3).
所以满足要求的数字应该是670+6=676个.
证明:
1、在9~2002这个区间,任取一个满足要求的数M,都要把M+8和M-8剔除(因为要保证任何两个数的差不能是8),也就是说,每选定一个数,就要至少要剔除2个数,所以在9~2002这个区间,满足要求的数最多只有1/3.
2、在1~8和2003~2010的区间,也就是整个数列的两头,因为M-8或者M+8已经超出数列,每选定一个满足要求的数M,只需要剔除1个数,所以可以增加个别数满足要求.
证毕.
PS：虽然选法还可以是1,4,7...2005,2008或者3,6,9...2007,2010,但是这两种选法,都只能增加4个“个别满足要求的数”,满足要求的数都只有674个.