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求助:高等代数的最大公因式问题
证明:如果d(x)|f(x),d(x)|g(x),且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合,那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.
(题目出自:高等代数(第三版),高等教育出版社,王萼芳,石生明编,第45页,第8题)
“且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合”,题目中这句话不死很懂,请哪位厉害的把题目的过程和这句话的意思解释一下,谢谢了!
人气:344 ℃ 时间:2020-04-11 21:48:45
解答
这句话的意思是d(x)可以写成f(x)和g(x)与一个关于x的式子的乘积的和,即:
存在u(x)和v(x),使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
证明过程就是,任意一个f(x)和g(x)的公因式,记为q(x),有q(x)|f(x),q(x)|g(x),
所以q(x)|f(x)*u(x),q(x)|g(x)*v(x),
由上面那个d(x)的式子,得到q(x)|d(x),
即q(x)是d(x)的因式,
由q(x)的任意性,得到d(x)为最大公因式.
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