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数学
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已知抛物线x
2
=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P,Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是( )
A. (-∞,-3]
B. [1,+∞)
C. [-3,1]
D. (-∞,-3]∪[1,+∞)
人气:425 ℃ 时间:2020-10-01 20:03:14
解答
设P(a,b)、Q(x,y),则
AP
=(a+1,b),
PQ
=(x-a,y-b)
由PA⊥PQ得(a+1)(x-a)+b(y-b)=0
又P、Q在抛物线上即a
2
=b+1,x
2
=y+1,故(a+1)(x-a)+(a
2
-1)(x
2
-a
2
)=0
整理得(a+1)(x-a)[1+(a-1)(x+a)]=0
而P和Q和A三点不重合即a≠-1、x≠a
所以式子可化为1+(a-1)(x+a)=0
整理得 a
2
+(x-1)a+1-x=0
由题意可知,此关于a的方程有实数解,即判别式△≥0
得(x-1)
2
-4(1-x)≥0,解得x≤-3或x≥1
故选D.
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