y=x²+2x+3
=x²+2x+1+2
=(x+1)²+2
对称轴为x=-1 开口向上
(1)m+2≤-1即m≤-3时,函数在x=m处取得最大值
最大值为f(m)=m²+2m+3 此时x=m
(2)m≥-1时,函数在x=m+2处取得最大值
最大值为f(m+2)=(m+2+1)²+2=m²+9m+11 此时x=m+2
(3)-3-2时,函数在x=m+2处取得最大值
最大值为f(m+2)=(m+2+1)²+2=m²+9m+11 此时x=m+2
若m+2-(-1)≤-1-m即m≤-2时,函数在x=m处取得最大值
最大值为f(m)=m²+2m+3 此时x=m
综上：
m>-2时,最大值为f(m+2)=(m+2+1)²+2=m²+9m+11 此时x=m+2
m≤-2时,最大值为f(m)=m²+2m+3 此时x=m