已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O_数学解答

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程．

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解答

（1）由e=

，得

=1-e²=

；
由直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，得

=|b|．
所以，b=

，a=

所以椭圆的方程是

=1．
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|，
即动点M到定点F₂（1，0）的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是y²=4x