已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(Ⅰ)设bn=an+1,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
人气:307 ℃ 时间:2019-09-03 07:36:53
解答
(Ⅰ)由S
n+1=2S
n+n+5(n∈N
*)
得 S
n=2S
n-1+(n-1)+5(n∈N
*,n≥2)
两式相减得 a
n+1=2a
n+1,
∴a
n+1+1=2(a
n+1)
即 b
n+1=2b
n(n∈N
*,n≥2),
又a
2=S
2-S
1=S
1+1+5=a
1+6=11
∴b
2=a
2+1=12,b
1=a
1+1=6
∴b
2=2b
1.
∴数列{b
n}是首项为6,公比为2的等比数列
∴
bn=6•2n−1=3•2n.
(Ⅱ)法一
由(Ⅰ)知
an=3•2n−1,
∴S
n=a
1+a
2+…+a
n=3×2+3×2
2+…+3•2
n-n=
3×−n=6•2
n-n-6=3•2
n+1-n-6.
(Ⅱ)法二
由已知S
n+1=2S
n+n+5(n∈N
*)①
设S
n+1+c(n+1)+d=2(S
n+cn+d)
整理得 S
n+1=2S
n+cn+d-c②
对照①、②,得 c=1,d=6,
即①等价于 S
n+1+(n+1)+6=2(S
n+n+6)
∴数列{S
n+n+6}是等比数列,首项为S
1+1+6=a
1+1+6=12,公比为q=2
∴
Sn+n+6=12•2n−1=3•2n+1∴
Sn=3•2n+1−n−6.
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