结论：BE=EF=FC，（1分）
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）
∵OB，OC平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBE=∠OCF=30°，（3分）
连接OE，OF，
∵EM，FN垂直平分OB，OC，
∴OE=BE，OF=FC，（5分）
∴∠BOE=∠OBE=30°，∠COF=∠OCF=30°，
∴∠OEF=∠OFE=60°，
∴三角形OEF是等边三角形，（8分）
∴OF=OE=EF，
∴BE=EF=FC．（10分）