设
f(x)=,其中a为正实数.
(1)当
a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为
[, ]上的单调函数,求a的取值范围.
人气:224 ℃ 时间:2019-08-20 05:35:26
解答
∵
f′(x)=,
(1)当
a=时,若f'(x)=0,
则
4x2−8x+3=0⇒x1=, x2=,
x | (−∞,) | | (, ) | | (, +∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
∴
x1=是极大值点,
x2=是极小值点;
(2)记g(x)=ax
2-2ax+1,则g(x)=a(x-1)
2+(1-a),
∵f(x)为
[, ]上的单调函数,
则f'(x)在
[, ]上不变号,
∵
>0,
∴g(x)≥0或g(x)≤0对
x∈[, ]恒成立,
由g(1)≥0或
g()≤0⇒0<a≤1或
a≥,
∴a的取值范围是0<a≤1或
a≥.
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