已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,证明向量组 b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar也线性无关.
人气:380 ℃ 时间:2020-03-22 10:01:38
解答
假设存在一组实数k
1,…,k
r,使得k
1b
1+…+k
rb
r=0,
即 k
1a
1+k
2(a
1+a
2)+…+k
r(a
1+…+a
r)=(k
1+…+k
r)a
1+(k
2+…+k
r)a
2+…+k
ra
r=0.
因为向量组a
1,a
2,…,a
r线性无关,所以
.
因为方程组的系数矩阵
=1≠0,
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得,
k
1=k
2=…=k
r=0.
故向量组b
1,b
2,…,b
r线性无关.
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