（I）∵f(x)=

1

3

x3-bx，∴f'（x）=x²-b，
设切点为（x₀，y₀），依题意得∴

1 3 x 30 -bx0=y0 y0=-2x0- 2 3 x 20 -b=-2

解得：b=3
（II）设h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m
h′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令h′（x）=0，得x=-1或x=3
在（0，3）上，h′（x）＜0，故h（x）在（0，3）上单调递减，
在（3，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（3，+∞）上是单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需

h(0)=-m＞0 h(3)=-9-m＜0

∴-9＜m＜0．
此时存在x＞3时，h（x）＞0，
例如x=5时，h=

125

3

-25=15-m=

5

3

-m＞0.
∴所求m的范围是-9＜m＜0．