共有7个.
以A、B、C、D中任何一点作另三点所在平面的垂线段,过这条线段中点且与该线段垂直的平面一定是满足题意的,显然有4个这样的平面.
A、B、C、D中任何两点的连线与另外两点的连线是两条异面直线,共有3组这样的异面直线.显然,在每组异面直线的中间一定能找到一个平面,使两条异面直线与平面的距离相等.