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数学
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若关于x的不等式x
2
+9+|x
2
-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为______.
人气:291 ℃ 时间:2019-08-20 06:16:12
解答
令f(x)=x
2
+9+|x
2
-3x|,x∈[1,5],则f(x)=
f
1
(x)=3x+9, x∈[1,3]
f
2
(x)=2
x
2
−3x+9 , x∈(3,5]
,由已知,k只需小于或等于g(x)=
f(x)
x
的最小值即可.
当x∈[1,3]时,g(x)=
f(x)
x
=3+
9
x
≥6,
当x∈(3,5]时,g(x)=
f(x)
x
=2x+
9
x
-3,g′(x)=(
f(x)
x
)′=2-
9
x
2
>0,是增函数,g(x)>g(3)=6,
所以g(x)的最小值为6,所以k≤6.
故答案为:(-∞,6]
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