首先,你的猜想是错的.
a2=1+(1/3)×a1=1+(1/3)×1=4/3
a3=1+(1/3)×a2=1+(1/3)×(4/3)=13/9≠(4/3)^2
a1=1,an=(1/3)a(n-1)+1
an-3/2=(1/3)a(n-1)+1-3/2=(1/3)a(n-1)-1/2=(1/3)[a(n-1)-3/2]
令bn=an-3/2
那么bn=(1/3)b(n-1)
故数列{bn}是等比数列
b1=a1-3/2=1-3/2=-1/2
所以bn=b1*(1/3)^(n-1)=(-1/2)*(1/3)^(n-1)
所以an=bn+3/2=(-1/2)*(1/3)^(n-1)+3/2
其实如果遇到这样的情况：
an=c*a(n-1)+d
可以构造一个等比数列来
两边同时加上d/(c-1)
an+d/(c-1)=c*[a(n-1)+d/(c-1)]
还有很多情况,都可以通过递推公式构造求出通项公式,上了高中你应该会遇到.