tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,1/tanC=1/tanB+1/tanA,设三角形ABC的面积为S,AB边上的高h,AB=c=2,则S=h,1/tanC=1/tanB+1/tanA=c/h=2/S,S=2tanC；tanB=tanCtanA/(tanA-tanC),在三角形中.tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,将tanB代入上式得：
tan²A(tan²C-1)-tanCtanA+tan²C=0,Δ=tan²C-4tan²C(tan²C-1)≥0,得：0≤tan²C≤5/4,则0≤S≤√5,三角形ABC面积的最大值√5.