已知函数f(x)=x|x|+px+q(x∈R),给出下列四个命题:①f(x)为奇函数的充要条件是q=0;②f(x)的图象关于点(0,q)对称;③当p=0时,方程f(x)=0的解集一定非空;④方程f(x)=0的解的个数一定不超过两个.
其中所有正确命题的序号是______.
人气:266 ℃ 时间:2019-10-11 01:04:33
解答
①q=0时,f(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故f(x)是奇函数,反之也成立,故①正确;
②由①可知q=0时,f(x)图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,故关于(0,q)对称正确;
对于③当p=0时,函数f(x)是增函数,方程f(x)=0的解集一定非空,正确;
对于④取p=-1,q=0,则f(x)=x|x|-x=x(|x|-1)=0,x=0或x=±1,故④错误;
故答案为:①②③.
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