若a，b∈S，则：存在整数m₁，n₁，m₂，n₂，满足
a=m₁²+n₁²，b=m₂²+n₂²，
则ab=（m₁²+n₁²）（m₂²+n₂²）
=m₁²•m₂²+n₁²•n₂²+m₁²•n₂²+n₁²•m₂²
=（m₁•m₂）²+（n₁•n₂）²-2（m₁•m₂•n₁•n₂）²+（m₁•n₂）²+（n₁•m₂）²+2（m₁•m₂•n₁•n₂）²
=（m₁•m₂-n₁•n₂）²+（m₁•n₂+n₁•m₂）²，
因为（m₁•m₂-n₁•n₂），（m₁•n₂+n₁•m₂）为整数，
所以ab∈S