∵|a-b|^2010+|c-a|^2010=1,a、b、c为整数
∴a=b,|c-a|=1或c=a,|a-b|=1
若a=b,|c-a|=1
则|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+0+|a-c|
=1+0+1
=2
若c=a,|a-b|=1
则|c-a|+|a-b|+|b-c|=0+1+|b-a|
=0+1+1
=2
∴|c-a|+|a-b|+|b-c|=2