n=2或13.
过程大致如下：
设n²+5n+22=k²,k是正整数.
则要使关于n的一元二次方程n²+5n+22-k²=0有正整数解,其判别式一定是完全平方数,即：
4k²-63=m²
(2k-m)(2k+m)=63=1*63=3*21=7*9
根据2k-m=1,2k+m=63及2k-m=3,2k+m=21还有2k-m=7,2k+m=9三种可能的关系可求出
k,m的值,相应的正整数n值有两个：
n=2,13.