> 数学 >
某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品,每年可售出该产品1000吨,若将该产品每吨的价格上涨x%,则每年的销售数量将减少mx%,其中m为正常数.
(1)当m=
1
2
时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大?
(2)如果存在一次涨价,能使销售总金额增加,求m的取值范围.
人气:167 ℃ 时间:2019-09-16 19:02:27
解答
(1)由题设,当价格上涨x%时,销售总金额:
y=10(1+x%)•1000(1-mx%)=−mx2+100(1−m)x+10000(0<x<
100
m
)

m=
1
2
时,y=
1
2
[−(x−50)2+22500]

当x=50时,ymax=11250.即该吨产品每吨的价格上涨50%时,销售总金额最大.
(2)由(1)y=−mx2+100(1−m)x+10000,(0<x<
100
m
)

如果存在一次涨价,能使销售总金额增加,则存在0<x<
100
m
使y>10×1000

-mx2+100(1-m)x+10000>10000,
∴-mx+100(1-m)>0,注意到m>0,
x<
100(1−m)
m

100(1−m)
m
100
m

100(1−m)
m
>0
,解得0<m<1.
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