S⊆A，且S∩B≠∅，说明S是A的子集，且S与B有公共元素；
∴A的构成情况为：①含一个元素：从4，5，6中选一个元素，个数为C₃1=3；
②含两个元素：从4，5，6选两个元素，或从1，2，3选一个，从4，5，6选一个，个数为：C₃2+C₃1C₃1=12；
③含三个元素：从4，5，6选三个，或从4，5，6选两个，从1，2，3选一个，或从4，5，6选一个，从1，2，3选两个，个数为：C₃3+C₃2C₃1+C₃1C₃2=19；
④含四个元素：从4，5，6选三个，从1，2，3选一个，或从4，5，6选两个，从1，2，3选两个，或从4，5，6选一个，从1，2，3选三个，个数为：C₃3C₃1+C₃2C₃2+C₃1C₃3=15；
⑤含五个元素：从4，5，6选三个，从1，2，3选两个，或从4，5，6选两个，从1，2，3选三个，个数为：C₃3C₃2+C₃2C₃3=6；含6个元素：从4，5，6选三个，从1，2，3选三个，个数为C₃3C₃3=1；
∴集合S的个数为：3+12+19+15+6+1=56．
故选：B．