将直线y=kx+1与双曲线x²-4y²=1联立消y整理得
(4k²-1)x²+8kx+5=0
1、当4k²-1=0,即k=±(1/2)时,上面的方程是一个一元一次方程,只有一个解,也就是两曲线只有一个交点.实际上,此时,直线与双曲线的渐近线平行,只能与双曲线的一支有交点
2、当4k²-1≠0,即k≠±(1/2)时,上面的方程是一个二元一次方程,要使直线与双曲线没有交点,只要判断别式
△<0即可.由
△=(8k)²-4*(4k²-1)*5<0,结合k≠±(1/2),解这个不等式得k<-√5/2或k>√5/2
上面的分析可以看出,当k<-√5/2或k>√5/2时,直线与双曲线没有交点.