当a＞0,b＞0且a≠b时,比较a^a×b^b与a^b×b^a的大小_数学解答

当a＞0,b＞0且a≠b时,比较a^a×b^b与a^b×b^a的大小

人气：125 ℃　时间：2020-06-03 16:34:24

解答

当aa^a*b^b-a^b*b^a
=a^a*b^a*b^(b-a)-a^a*a^(b-a)*b^a
=a^a*b^a*[b^(b-a)-a^(b-a)]
很明显a^a>0,b^a>0,而且b>a所以[b^(b-a)-a^(b-a)]>0
所以a^a*b^b-a^b*b^a>0
所以a^a*b^b>a^b*b^a
a>b
a^a*b^b-a^b*b^a
=a^a*b^a*b^(b-a)-a^a*a^(b-a)*b^a
=a^a*b^a*[b^(b-a)-a^(b-a)]
很明显a^a>0,b^a>0,而且b0
所以a^a*b^b-a^b*b^a>0
所以a^a*b^b>a^b*b^a