∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴该四边形是平行四边形，
又∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴该四边形既是菱形，又是矩形，
∴该四边形是正方形．
故答案为正方形．