已知a与b均为有理数,且根号a和根号b都是无理数.证明根号a+根号b是无理数
得用反证法~
人气:159 ℃ 时间:2019-08-22 05:51:47
解答
假设√a+√b为有理数
(1)a等于b时
√a+√b=2√a为有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以:2√a为无理数
与假设矛盾,假设不成立
(2)a不等于b时 √a-√b不等于0
由已知得√a+√b也不等于0
(√a+√b)(√a-√b)=a+b
因为:两个有理数的和必是有理数
所以:a+b是有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以√a-√b不能是无理数
则有(√a+√b)+(√a-√b)=2√a为有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以:2√a为无理数,与假设结论矛盾,假设不成立
综上所述,√a+√b为无理数
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