已知0<x≤π/4,求函数y=csc2x+tanx的最小值.
如题,用三角方程的有解条件做比较方便(acosx
+bsinx=c的有解条件为a^2+b^2≥c^2.
人气:277 ℃ 时间:2019-12-09 06:16:35
解答
y=csc2x+tanx=1/(2sinxcosx)+tanx=sec²x/[(2sinxcosx)sec²x]+tanx
=(1+tan²x)/(2tanx)+tanx=3tanx/2+1/(2tanx)≥2√(3/4)=√3
当且仅当3tanx/2=1/(2tanx)时,取得“=”
∴3tan²x=1 ∴tanx=√3/3 ∵0<x≤π/4 ∴x=π/6
∴当x=π/6时,y=csc2x+tanx有最小值√3
∵acosx+bsinx=c ∴√(a²+b²)[a/√(a²+b²)cosx+b√(a²+b²)sinx]=c
∴√(a²+b²)sin(x+θ)=c 其中tanθ=a/b
∴要使acosx+bsinx=c有解,即sin(x+θ)=c/√(a²+b²)有解
∴sin(x+θ)≤1 ∴c/√(a²+b²)≤1 ∴a²+b²≥c²
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