已知a>0.数列{an}满足a1=a,an+1=a+ 1/an,(n=1,2…..),an极限存在,an>0.
设数列bn=an-A,(n=1,2….)试证明bn+1=bn/-A(bn+A);
(2)若数列|bn|≤1/2^n对n=1,2……均成立,试求a的取值范围.
人气:467 ℃ 时间:2020-05-22 15:59:37
解答
应该有A=liman(n趋于∞).
(1).由已知,两边取极限,得A=a+1/A,
bn+1=an+1-A=(a+ 1/an)-(a+1/A)=1/an-1/A=1/(bn-A)-1/A=bn/-A(bn+A);
(2).由(1)得,A=[a+√(a^2+4)]/2(易得A>0)
由|b1|=|a-[a+√(a^2+4)]/2|≤1/2,解得a≥3/2
用数学归纳法看证得,当a≥3/2时,|bn|≤1/2^n对n=1,2……均成立,
(1)n=1时已验证
(2)假设n=k时,结论成立,即|bk|≤1/2^k,则
当n=k+1时,
|bk+1|=│bk/[-A(bn+A)]│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k
而当a≥3/2时,A=[a+√(a^2+4)]/2≥【3/2+5/2】/2=2
│bk+A│≥A-│bk│≥2-1/2^k≥1
A[bn+A)]≥2
故当a≥3/2时,|bk+1|│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k≤1/2*1/2^k=1/2^(k+1),
即当n=k+1时,结论成立
所以,结论对所有正整数都成立
故数列|bn|≤1/2^n对n=1,2……均成立的a的取值范围为【3/2,+∞)
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